계산기 사용법
주사위 선택에서 주사위를 고르거나, 표기법 입력란에 3d6, 2d20kh1, 1d20+1d4+5처럼 원하는 굴림을 입력하세요.
확률 패널에 나올 수 있는 모든 합계의 차트와 범위, 평균, 가장 잘 나오는 합계, 표준편차가 바로 표시돼요.
“이 값 이상이 나올 확률”에 목표값을 넣으면 그 값 이상이 나올 확률을 알 수 있고, 전체 확률표를 열면 모든 합계의 ‘정확히’, ‘이상’, ‘이하’ 확률을
볼 수 있어요. 언제든 굴리기를 누르면 실제 굴림 결과가 차트의 어디에 떨어지는지 확인할 수 있어요.
확률 계산 방법
정확히 셀 수 있는 것은 시뮬레이션으로 추정하지 않아요.
- 주사위 합계는 “합성곱(컨볼루션)”으로 구해요. 주사위 하나의 분포에 다음 주사위의 분포를 하나씩 합쳐 나가는 방식이라, 3d6은 2d6에 d6 하나를 더해서 만들어요. 주사위가 몇 개든, 크기가 다른 주사위가 섞여 있든 정확해요.
- 남기기·제외 굴림(이점, 4d6 최저값 제외)은 정렬했을 때 서로 다른 결과를 한 번씩만 살펴보고, 각 결과가 나올 수 있는 순서의 수만큼 가중치를 줘서 계산해요. 4d6이라면 1,296가지 대신 126가지만 보면 돼요. 이렇게 해도 경우가 너무 많은 아주 큰 남기기 굴림에서만 모의 굴림 200,000번으로 대신 계산하고, 그렇다고 알려 줘요.
- 수정치는 분포 전체를 옮기고, 빼는 주사위는 분포를 좌우로 뒤집어요.
자주 쓰는 굴림의 평균과 퍼진 정도
s면체 주사위 n개의 합계라면 평균은 n(s + 1)/2, 표준편차는 √(n(s² − 1)/12)로 구할 수 있어요. 굴림의 약 3분의 2는 평균에서 표준편차 하나 이내에 들어와요.
| 굴림 | 범위 | 평균 | 표준편차 |
|---|---|---|---|
| 1d4 | 1~4 | 2.5 | 1.12 |
| 1d6 | 1~6 | 3.5 | 1.71 |
| 2d6 | 2~12 | 7 | 2.42 |
| 3d6 | 3~18 | 10.5 | 2.96 |
| 1d8 | 1~8 | 4.5 | 2.29 |
| 1d10 | 1~10 | 5.5 | 2.87 |
| 1d12 | 1~12 | 6.5 | 3.45 |
| 1d20 | 1~20 | 10.5 | 5.77 |
| 8d6 | 8~48 | 28 | 4.83 |
| 2d20kh1(이점) | 1~20 | 13.83 | 4.71 |
| 2d20kl1(불리점) | 1~20 | 7.18 | 4.71 |
| 4d6dl1(능력치) | 3~18 | 12.24 | 2.85 |
주사위가 많을수록 종 모양 곡선이 되는 이유
주사위 1개의 분포는 평평해요. 모든 면이 똑같은 확률로 나오니까요. 주사위를 하나 더하면 가운데 합계는 양 끝보다 만들 수 있는 경우가 많아져서 삼각형 모양이 돼요(d6 2개라면 7이 꼭대기). 주사위가 3개 이상이면 둥근 종 모양 곡선이 되고, 주사위를 더할수록 정규분포에 가까워져요. 바로 중심극한정리예요. 그래서 평균적인 결과는 자주, 극단적인 결과는 드물게 나오길 바라는 게임은 3d6을 쓰고, 모든 결과가 똑같이 나올 수 있길 바라는 게임은 d20 하나를 써요.
계산 예시
- 2d6으로 10 이상: 10, 11, 12가 나오는 경우는 36가지 중 3 + 2 + 1 = 6가지이므로 6/36 = 16.67%예요.
- 주사위를 4번 굴려 6이 한 번 이상 나올 확률: 1 − (5/6)4 = 51.77%. 슈발리에 드 메레가 돈을 딴 내기가 바로 이거예요. 반면 그가 돈을 잃은 변형 내기(주사위 2개를 24번 던져 6 더블이 나오는지, 49.14%)를 계기로 블레즈 파스칼과 피에르 드 페르마가 1654년에 주고받은 편지에서 확률론의 토대를 세웠어요.
- 명중 굴림 3번 중 내추럴 20이 한 번 이상 나올 확률: 1 − 0.953 = 14.26%.
- +4로 DC 15 달성: 주사위에서 11 이상이 나와야 해요. 20면 중 10면이니 50%이고, 이점이 있으면 1 − 0.5² = 75%예요.