Jak korzystać z kalkulatora
Wybierz kostki w panelu wyboru albo wpisz dowolny rzut w polu notacji – 3d6, 2d20kh1, 1d20+1d4+5.
Panel Prawdopodobieństwo od razu pokazuje wykres wszystkich możliwych sum, zakres, średnią, najczęstszy wynik i
odchylenie standardowe. Wpisz próg w polu Szansa na wyrzucenie co najmniej, aby poznać szansę na jego osiągnięcie, i otwórz pełną tabelę, aby zobaczyć
dla każdej sumy szansę na dokładnie tyle, co najmniej tyle i co najwyżej tyle. Naciśnij Rzuć w dowolnej chwili, aby zobaczyć, gdzie na wykresie wypada prawdziwy rzut.
Jak liczone są szanse
Niczego tu nie szacujemy symulacją, jeśli da się to dokładnie policzyć:
- Sumy kostek wyznacza się przez splot: rozkład jednej kostki łączy się z rozkładem następnej, kostka po kostce, więc 3k6 powstaje z 2k6 i jeszcze jednej k6. Wynik jest dokładny dla dowolnej liczby kostek i dowolnej mieszanki rodzajów.
- Rzuty z zachowaniem i odrzucaniem (ułatwienie, 4k6 bez najniższej) liczymy, odwiedzając raz każdy odrębny posortowany wynik i ważąc go liczbą kolejności, w jakich może wystąpić – 126 przypadków dla 4k6 zamiast 1296. Tylko przy bardzo dużych rzutach z zachowaniem, gdy nawet tego byłoby za dużo, kalkulator przechodzi na 200 000 symulowanych rzutów i o tym informuje.
- Modyfikatory przesuwają cały rozkład; odejmowane kostki odbijają go lustrzanie.
Średnia i rozrzut popularnych rzutów
Dla sumy n kostek o s ściankach średnia wynosi n(s + 1)/2, a odchylenie standardowe √(n(s² − 1)/12). Mniej więcej dwie trzecie rzutów mieści się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.
| Rzut | Zakres | Średnia | Odchylenie std. |
|---|---|---|---|
| 1d4 | 1–4 | 2,5 | 1,12 |
| 1d6 | 1–6 | 3,5 | 1,71 |
| 2d6 | 2–12 | 7 | 2,42 |
| 3d6 | 3–18 | 10,5 | 2,96 |
| 1d8 | 1–8 | 4,5 | 2,29 |
| 1d10 | 1–10 | 5,5 | 2,87 |
| 1d12 | 1–12 | 6,5 | 3,45 |
| 1d20 | 1–20 | 10,5 | 5,77 |
| 8d6 | 8–48 | 28 | 4,83 |
| 2d20kh1 (ułatwienie) | 1–20 | 13,83 | 4,71 |
| 2d20kl1 (utrudnienie) | 1–20 | 7,18 | 4,71 |
| 4d6dl1 (wartość cechy) | 3–18 | 12,24 | 2,85 |
Dlaczego więcej kostek daje krzywą dzwonową
Pojedyncza kostka daje płaski rozkład: każda ścianka jest tak samo prawdopodobna. Dodaj drugą, a środkowe sumy da się uzyskać na więcej sposobów niż skrajne, więc kształt staje się trójkątem (ze szczytem na 7 dla dwóch k6). Przy trzech i więcej kostkach zaokrągla się w krzywą dzwonową, a im więcej kostek dodasz, tym bardziej zbliża się do rozkładu normalnego – to centralne twierdzenie graniczne w działaniu. Dlatego gry używają 3k6, gdy przeciętne wyniki mają być częste, a skrajne rzadkie, i jednej k20, gdy każdy wynik ma być tak samo możliwy.
Przykłady obliczeń
- 10 lub więcej na 2k6: 10, 11 i 12 można uzyskać na 3 + 2 + 1 = 6 sposobów z 36, więc 6/36 = 16,67%.
- Co najmniej jedna szóstka w czterech rzutach kostką: 1 − (5/6)4 = 51,77%. Na tym zakładzie wygrywał kawaler de Méré, a jego przegrywający wariant – podwójna szóstka w 24 rzutach dwiema kostkami (49,14%) – skłonił Blaise’a Pascala i Pierre’a de Fermata do stworzenia rachunku prawdopodobieństwa w listach z 1654 roku.
- Co najmniej jedna naturalna 20 w trzech rzutach ataku: 1 − 0,953 = 14,26%.
- Osiągnięcie ST 15 z premią +4: potrzebujesz 11 lub więcej na kostce – 10 ścianek z 20, czyli 50%; z ułatwieniem 1 − 0,5² = 75%.