מחשבון הסתברות לקוביות

איך משתמשים במחשבון

בחרו קוביות בבורר או הקלידו כל הטלה שתרצו בתיבת הכתיב — 3d6, 2d20kh1, 1d20+1d4+5. חלונית הסתברות מציגה מיד גרף של כל סכום אפשרי, ואת הטווח, הממוצע, התוצאה הסבירה ביותר וסטיית התקן. הזינו יעד בשדה הסיכוי לקבל לפחות כדי לראות את הסיכוי להגיע אליו, ופתחו את הטבלה המלאה כדי לראות לכל סכום את הסיכוי לקבל אותו בדיוק, לפחות אותו או לכל היותר אותו. לחצו על "הטלה" מתי שתרצו כדי לראות איפה נוחתת הטלה אמיתית בגרף.

איך מחושבים הסיכויים

שום דבר כאן לא מוערך בסימולציה כשאפשר לספור אותו במדויק:

סכומי קוביות מחושבים בקונבולוציה: ההתפלגות של קובייה אחת משולבת עם זו של הבאה, קובייה אחר קובייה, כך ש־3d6 נבנית מ־2d6 ועוד d6 אחת. השיטה מדויקת לכל מספר של קוביות ולכל שילוב של גדלים.
הטלות שמירה והשמטה (יתרון, 4d6 בלי הנמוכה) נספרות כך: עוברים פעם אחת על כל תוצאה ממוינת שונה ונותנים לה משקל לפי מספר הסדרים שבהם היא יכולה להופיע — 126 מקרים ב־4d6 במקום 1,296. רק בהטלות שמירה גדולות מאוד, שבהן אפילו זה יותר מדי, המחשבון עובר ל־200,000 הטלות מדומות, והוא מציין זאת.
תוספות מזיזות את כל ההתפלגות; קוביות שמחסירים הופכות אותה כמו במראה.

ממוצע ופיזור של הטלות נפוצות

לסכום של n קוביות עם s פאות, הממוצע הוא n(s + 1)/2 וסטיית התקן היא √(n(s² − 1)/12). בערך שני שלישים מההטלות נוחתות בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע.

ממוצעים וסטיות תקן מדויקים
הטלה	טווח	ממוצע	סטיית תקן
1d4	1–4	2.5	1.12
1d6	1–6	3.5	1.71
2d6	2–12	7	2.42
3d6	3–18	10.5	2.96
1d8	1–8	4.5	2.29
1d10	1–10	5.5	2.87
1d12	1–12	6.5	3.45
1d20	1–20	10.5	5.77
8d6	8–48	28	4.83
2d20kh1 (יתרון)	1–20	13.83	4.71
2d20kl1 (חיסרון)	1–20	7.18	4.71
4d6dl1 (ערך תכונה)	3–18	12.24	2.85

למה יותר קוביות יוצרות עקומת פעמון

ההתפלגות של קובייה אחת שטוחה: לכל פאה יש אותו סיכוי. הוסיפו קובייה שנייה, ואת הסכומים האמצעיים אפשר לקבל ביותר דרכים מאשר את הקיצוניים, כך שהצורה הופכת למשולש (עם שיא ב־7 בשתי קוביות d6). עם שלוש קוביות או יותר היא מתעגלת לעקומת פעמון, וככל שמוסיפים קוביות היא מתקרבת יותר להתפלגות הנורמלית — משפט הגבול המרכזי בפעולה. לכן משחקים משתמשים ב־3d6 כשהם רוצים שתוצאות ממוצעות יהיו נפוצות וקיצוניות יהיו נדירות, וב־d20 אחת כשהם רוצים שלכל תוצאה יהיה אותו סיכוי.

דוגמאות פתורות

10 או יותר ב־2d6: את 10, 11 ו־12 אפשר לקבל ב־3 + 2 + 1 = 6 דרכים מתוך 36, כלומר 6/36 = 16.67%.
לפחות 6 אחד בארבע הטלות של קובייה: 1 − (5/6)⁴ = 51.77%. זה ההימור שבו זכה השבלייה דה מרה (Chevalier de Méré), והגרסה המפסידה שלו — דאבל שש ב־24 הטלות של שתי קוביות (49.14%) — הובילה את בלז פסקל ואת פייר דה פרמה לייסד את תורת ההסתברות במכתבים שהחליפו ב־1654.
לפחות 20 טבעי אחד בשלוש הטלות התקפה: 1 − 0.95³ = 14.26%.
לעבור DC 15 עם +4: צריך 11 או יותר בקובייה — 10 פאות מתוך 20, כלומר 50%; ביתרון 1 − 0.5² = 75%.

שאלות נפוצות

איך מחשבים הסתברות בקוביות?

סופרים את התוצאות הרצויות ומחלקים במספר כל התוצאות האפשריות, שלכולן אותו סיכוי. בשתי קוביות d6 יש 36 תוצאות, ואת הסכום 7 אפשר לקבל ב־6 דרכים, ולכן ההסתברות היא 6/36 = 1/6. בהטלות גדולות יותר המחשבון משלב את הקוביות אחת אחרי השנייה (קונבולוציה) כדי לספור במדויק.

מה ההסתברות לקבל 7 בשתי קוביות?

6 מתוך 36, כלומר 16.67% — הסכום הסביר ביותר בשתי קוביות בנות שש פאות.

מה הממוצע של NdS?

n × (s + 1) / 2. הממוצע של d6 אחת הוא 3.5, של 3d6 הוא 10.5, של 1d20 הוא 10.5 ושל 8d6 הוא 28.

מה הסיכוי לקבל 6 לפחות פעם אחת בארבע הטלות?

51.77%, לפי החישוב 1 − (5/6)⁴. הכלל הכללי להצלחה אחת לפחות ב־n ניסיונות הוא 1 − (1 − p)ⁿ.

האם הטלה קודמת משפיעה על ההטלה הבאה?

לא. לקוביות אין זיכרון: כל הטלה בלתי תלויה, כך שגם אחרי חמש פעמים 1 ברצף, הסיכוי שההטלה הבאה תהיה 1 זהה בדיוק לסיכוי של כל מספר אחר.