Come usare il calcolatore
Scegli i dadi con il selettore oppure scrivi qualsiasi lancio nella casella della notazione: 3d6, 2d20kh1, 1d20+1d4+5.
Il pannello Probabilità mostra subito un grafico di tutti i totali possibili, l’intervallo, la media, il risultato più probabile e la
deviazione standard. Inserisci un obiettivo in Probabilità di ottenere almeno per sapere quanto è probabile raggiungerlo, e apri la tabella completa
per vedere, per ogni totale, la probabilità esatta, quella di ottenere almeno quel totale e quella di ottenere al massimo quel totale. Premi Lancia quando vuoi
per vedere dove cade sul grafico un lancio vero.
Come si calcolano le probabilità
Qui non si stima niente con una simulazione, se lo si può contare in modo esatto:
- Le somme di dadi si calcolano per convoluzione: la distribuzione di un dado viene combinata con quella del successivo, un dado alla volta, così 3d6 si costruisce da 2d6 più un altro d6. Il metodo è esatto per qualsiasi numero di dadi e qualsiasi combinazione di tipi.
- I lanci con dadi tenuti o scartati (vantaggio, 4d6 scarta il più basso) si contano esaminando una sola volta ogni risultato ordinato distinto e pesandolo per il numero di ordini in cui può comparire: 126 casi per 4d6 invece di 1296. Solo per lanci di questo tipo molto grandi, in cui anche così i casi sarebbero troppi, il calcolatore ripiega su 200.000 lanci simulati, e lo segnala.
- I modificatori spostano tutta la distribuzione; i dadi sottratti la ribaltano.
Media e dispersione dei lanci più comuni
Per una somma di n dadi a s facce, la media è n(s + 1)/2 e la deviazione standard è √(n(s² − 1)/12). Circa due terzi dei lanci cadono entro una deviazione standard dalla media.
| Lancio | Intervallo | Media | Dev. standard |
|---|---|---|---|
| 1d4 | 1–4 | 2,5 | 1,12 |
| 1d6 | 1–6 | 3,5 | 1,71 |
| 2d6 | 2–12 | 7 | 2,42 |
| 3d6 | 3–18 | 10,5 | 2,96 |
| 1d8 | 1–8 | 4,5 | 2,29 |
| 1d10 | 1–10 | 5,5 | 2,87 |
| 1d12 | 1–12 | 6,5 | 3,45 |
| 1d20 | 1–20 | 10,5 | 5,77 |
| 8d6 | 8–48 | 28 | 4,83 |
| 2d20kh1 (vantaggio) | 1–20 | 13,83 | 4,71 |
| 2d20kl1 (svantaggio) | 1–20 | 7,18 | 4,71 |
| 4d6dl1 (punteggio di caratteristica) | 3–18 | 12,24 | 2,85 |
Perché con più dadi si forma una curva a campana
Un singolo dado è piatto: ogni faccia è ugualmente probabile. Aggiungine un secondo e i totali centrali si possono ottenere in più modi degli estremi, così la forma diventa un triangolo (con il picco sul 7 per due d6). Con tre o più dadi si arrotonda in una curva a campana, e più dadi aggiungi più si avvicina alla distribuzione normale: è il teorema del limite centrale all’opera. Per questo i giochi usano 3d6 quando vogliono che i risultati medi siano frequenti e quelli estremi rari, e un singolo d20 quando vogliono che ogni risultato sia ugualmente possibile.
Esempi svolti
- 10 o più con 2d6: 10, 11 e 12 si ottengono in 3 + 2 + 1 = 6 modi su 36, quindi 6/36 = 16,67%.
- Almeno un 6 in quattro lanci di un dado: 1 − (5/6)4 = 51,77%. È la scommessa con cui vinceva il Cavaliere de Méré; la sua variante perdente, un doppio sei in 24 lanci di due dadi (49,14%), spinse Blaise Pascal e Pierre de Fermat a fondare la teoria della probabilità nelle lettere che si scambiarono nel 1654.
- Almeno un 20 naturale in tre tiri per colpire: 1 − 0,953 = 14,26%.
- Superare CD 15 con +4: ti serve 11 o più sul dado, cioè 10 facce su 20, quindi il 50%; con vantaggio 1 − 0,5² = 75%.