Jak kalkulačku používat
Vyber kostky ve výběru nebo napiš libovolný hod do pole se zápisem kostek – 3d6, 2d20kh1, 1d20+1d4+5.
Panel Pravděpodobnost hned ukáže graf všech možných součtů, rozsah, průměr, nejčastější výsledek a
směrodatnou odchylku. Zadej cíl do pole Šance hodit alespoň a uvidíš šanci, že ho dosáhneš; v úplné tabulce pak najdeš
u každého součtu šanci „přesně“, „alespoň“ i „nejvýš“. Kdykoli stiskneš Hodit, uvidíš, kam v grafu padne skutečný hod.
Jak se šance počítají
Nic se tu neodhaduje simulací, pokud se to dá spočítat přesně:
- Součty kostek se počítají konvolucí: rozdělení jedné kostky se zkombinuje s další, jedna kostka po druhé, takže 3k6 vznikne z 2k6 a jedné další k6. Výsledek je přesný pro libovolný počet kostek i libovolnou kombinaci velikostí.
- Hody s ponecháním a zahozením (výhoda, 4k6 bez nejnižší) se počítají tak, že se každý odlišný seřazený výsledek projde jednou a zváží počtem pořadí, v nichž může padnout – u 4k6 je to 126 případů místo 1 296. Jen u velmi velkých hodů s ponecháním, kde by i to bylo příliš mnoho, sáhne kalkulačka po 200 000 simulovaných hodech a upozorní na to.
- Modifikátory celé rozdělení posunou; odečítané kostky ho zrcadlově převrátí.
Průměr a směrodatná odchylka běžných hodů
Pro součet n kostek o s stěnách je průměr n(s + 1)/2 a směrodatná odchylka √(n(s² − 1)/12). Zhruba dvě třetiny hodů padnou nejvýš jednu směrodatnou odchylku od průměru.
| Hod | Rozsah | Průměr | Směr. odchylka |
|---|---|---|---|
| 1d4 | 1–4 | 2,5 | 1,12 |
| 1d6 | 1–6 | 3,5 | 1,71 |
| 2d6 | 2–12 | 7 | 2,42 |
| 3d6 | 3–18 | 10,5 | 2,96 |
| 1d8 | 1–8 | 4,5 | 2,29 |
| 1d10 | 1–10 | 5,5 | 2,87 |
| 1d12 | 1–12 | 6,5 | 3,45 |
| 1d20 | 1–20 | 10,5 | 5,77 |
| 8d6 | 8–48 | 28 | 4,83 |
| 2d20kh1 (výhoda) | 1–20 | 13,83 | 4,71 |
| 2d20kl1 (nevýhoda) | 1–20 | 7,18 | 4,71 |
| 4d6dl1 (hodnota vlastnosti) | 3–18 | 12,24 | 2,85 |
Proč víc kostek dává zvonovou křivku
Jedna kostka má ploché rozdělení: každá stěna je stejně pravděpodobná. Přidej druhou a prostřední součty půjde složit víc způsoby než krajní, takže tvar se změní v trojúhelník (u dvou k6 s vrcholem na 7). Se třemi a více kostkami se zaoblí do zvonové křivky, a čím víc kostek přidáš, tím víc se blíží normálnímu rozdělení – to je centrální limitní věta v praxi. Proto hry používají 3k6, když chtějí, aby průměrné výsledky byly časté a krajní vzácné, a jednu k20, když má být každý výsledek stejně možný.
Příklady výpočtů
- 10 nebo víc na 2k6: 10, 11 a 12 jde hodit 3 + 2 + 1 = 6 způsoby z 36, takže 6/36 = 16,67 %.
- Alespoň jedna šestka ve čtyřech hodech kostkou: 1 − (5/6)4 = 51,77 %. Právě na tuhle sázku vyhrával rytíř de Méré a jeho prohrávající varianta – dvě šestky naráz ve 24 hodech dvěma kostkami (49,14 %) – přivedla Blaise Pascala a Pierra de Fermata k tomu, že ve svých dopisech z roku 1654 položili základy teorie pravděpodobnosti.
- Alespoň jedna přirozená 20 ve třech hodech na útok: 1 − 0,953 = 14,26 %.
- Dosáhnout SO 15 s +4: na kostce potřebuješ 11 nebo víc – 10 stěn z 20, tedy 50 %; s výhodou 1 − 0,5² = 75 %.