คำนวณความน่าจะเป็นลูกเต๋า

พิมพ์การทอยแบบใดก็ได้ — 3d6, 2d20kh1, 1d20+1d4+5 — เพื่อดูโอกาสที่แน่นอนของผลรวมทุกค่า ค่าเฉลี่ย และโอกาสที่จะถึงเป้าหมาย

วิธีใช้เครื่องคำนวณ

เลือกลูกเต๋าจากแถบเลือกลูกเต๋า หรือพิมพ์การทอยแบบใดก็ได้ลงในช่องสัญกรณ์ เช่น 3d6, 2d20kh1, 1d20+1d4+5 แผง “ความน่าจะเป็น” จะแสดงกราฟของผลรวมทุกค่าที่เป็นไปได้ทันที พร้อมช่วง ค่าเฉลี่ย ผลที่ออกบ่อยที่สุด และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใส่เป้าหมายในช่อง “โอกาสทอยได้อย่างน้อย” เพื่อดูโอกาสที่จะถึงเป้า และเปิดตารางความน่าจะเป็นทั้งหมดเพื่อดูโอกาสของผลรวมแต่ละค่าแบบ “ได้พอดี” “อย่างน้อย” และ “ไม่เกิน” กด “ทอย” เมื่อไรก็ได้เพื่อดูว่าการทอยจริงตกตรงไหนบนกราฟ

คำนวณโอกาสอย่างไร

อะไรที่นับได้แบบแม่นยำ ที่นี่จะไม่ใช้การจำลองเพื่อประมาณค่าเลย

ผลรวมของลูกเต๋าคำนวณด้วยคอนโวลูชัน (convolution) คือนำการแจกแจงของลูกเต๋าลูกหนึ่งมารวมกับลูกถัดไปทีละลูก เช่น 3d6 สร้างจาก 2d6 รวมกับ d6 อีกหนึ่งลูก วิธีนี้ได้ค่าที่แน่นอนไม่ว่าจะมีลูกเต๋ากี่ลูกและผสมขนาดแบบใดก็ตาม
การทอยแบบเลือกและตัดลูก (ได้เปรียบ และ 4d6 ตัดลูกต่ำสุด) นับโดยไล่ดูผลลัพธ์แบบเรียงลำดับแล้วที่ไม่ซ้ำกันทีละแบบเพียงครั้งเดียว แล้วถ่วงน้ำหนักตามจำนวนลำดับที่ผลนั้นเกิดขึ้นได้ ทำให้ 4d6 มีเพียง 126 กรณีแทนที่จะเป็น 1,296 เฉพาะการทอยแบบเลือกลูกที่ใหญ่มาก ๆ ซึ่งแม้วิธีนี้ก็ยังมีกรณีมากเกินไป เครื่องคำนวณจึงจะใช้การจำลองการทอย 200,000 ครั้งแทน และจะแจ้งให้ทราบ
ค่าบวกลบจะเลื่อนการแจกแจงทั้งหมด ส่วนลูกเต๋าที่ลบออกจะกลับด้านการแจกแจงเหมือนภาพในกระจก

ค่าเฉลี่ยและการกระจายของการทอยที่พบบ่อย

สำหรับผลรวมของลูกเต๋า n ลูกที่มี s หน้า ค่าเฉลี่ยคือ n(s + 1)/2 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ √(n(s² − 1)/12) ผลทอยราวสองในสามจะตกอยู่ภายในหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แน่นอน
การทอย	ช่วง	ค่าเฉลี่ย	ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
1d4	1–4	2.5	1.12
1d6	1–6	3.5	1.71
2d6	2–12	7	2.42
3d6	3–18	10.5	2.96
1d8	1–8	4.5	2.29
1d10	1–10	5.5	2.87
1d12	1–12	6.5	3.45
1d20	1–20	10.5	5.77
8d6	8–48	28	4.83
2d20kh1 (ได้เปรียบ)	1–20	13.83	4.71
2d20kl1 (เสียเปรียบ)	1–20	7.18	4.71
4d6dl1 (ค่าความสามารถ)	3–18	12.24	2.85

ทำไมยิ่งลูกเต๋าเยอะ ยิ่งเป็นเส้นโค้งระฆังคว่ำ

ลูกเต๋าลูกเดียวมีการแจกแจงแบบแบนราบ คือทุกหน้ามีโอกาสออกเท่ากัน เมื่อเพิ่มลูกที่สอง ผลรวมตรงกลางจะเกิดได้หลายแบบกว่าค่าสุดขั้ว รูปกราฟจึงกลายเป็นสามเหลี่ยม (สูงสุดที่ 7 สำหรับ d6 สองลูก) เมื่อมีลูกเต๋าตั้งแต่สามลูกขึ้นไป กราฟจะโค้งมนเป็นรูประฆังคว่ำ และยิ่งเพิ่มลูกเต๋า ก็ยิ่งใกล้การแจกแจงปกติ ซึ่งเป็นผลของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง นี่คือเหตุผลที่เกมใช้ 3d6 เมื่อต้องการให้ผลกลาง ๆ ออกบ่อยและผลสุดขั้วออกยาก และใช้ d20 ลูกเดียวเมื่อต้องการให้ทุกผลมีโอกาสเท่ากัน

ตัวอย่างการคำนวณ

ได้ 10 ขึ้นไปจาก 2d6: 10, 11 และ 12 เกิดได้ 3 + 2 + 1 = 6 แบบจาก 36 แบบ จึงเท่ากับ 6/36 = 16.67%
ได้ 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้งจากการทอยลูกเต๋า 4 ครั้ง: 1 − (5/6)⁴ = 51.77% นี่คือเดิมพันที่เชอวาลีเย เดอ เมเร (Chevalier de Méré) เคยชนะ ส่วนเดิมพันอีกแบบที่เขาแพ้ คือได้ดับเบิล 6 ในการทอยลูกเต๋าสองลูก 24 ครั้ง (49.14%) เป็นเหตุให้แบลซ ปัสกาล (Blaise Pascal) และปีแยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat) วางรากฐานทฤษฎีความน่าจะเป็นผ่านจดหมายที่เขียนโต้ตอบกันในปี 1654
ได้เนเชอรัล 20 อย่างน้อยหนึ่งครั้งจากการทอยโจมตี 3 ครั้ง: 1 − 0.95³ = 14.26%
ผ่าน DC 15 ด้วย +4: ต้องทอยลูกเต๋าให้ได้ 11 ขึ้นไป คือ 10 หน้าจาก 20 หน้า จึงเท่ากับ 50% ถ้าได้เปรียบจะเป็น 1 − 0.5² = 75%

คำถามที่พบบ่อย

คำนวณความน่าจะเป็นของลูกเต๋าอย่างไร

นับจำนวนผลลัพธ์ที่ต้องการ แล้วหารด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่มีโอกาสเกิดเท่ากัน d6 สองลูกมีผลลัพธ์ 36 แบบ และผลรวม 7 เกิดได้ 6 แบบ ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับ 6/36 = 1/6 สำหรับการทอยที่ใหญ่กว่านั้น เครื่องคำนวณจะรวมลูกเต๋าทีละลูก (คอนโวลูชัน) เพื่อนับให้ได้ค่าที่แน่นอน

ทอยลูกเต๋า 2 ลูกให้ได้ 7 มีโอกาสเท่าไร

6 ใน 36 หรือ 16.67% เป็นผลรวมที่ออกบ่อยที่สุดเมื่อทอยลูกเต๋า 6 หน้าสองลูก

ค่าเฉลี่ยของ NdS คือเท่าไร

n × (s + 1) / 2 เช่น d6 ลูกเดียวเฉลี่ย 3.5, 3d6 เฉลี่ย 10.5, 1d20 เฉลี่ย 10.5 และ 8d6 เฉลี่ย 28

ทอยลูกเต๋า 4 ครั้ง โอกาสได้ 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าไร

51.77% คำนวณจาก 1 − (5/6)⁴ กฎทั่วไปของโอกาสสำเร็จอย่างน้อยหนึ่งครั้งจากการลอง n ครั้งคือ 1 − (1 − p)ⁿ

ผลทอยครั้งก่อนมีผลต่อครั้งถัดไปไหม

ไม่มี ลูกเต๋าไม่มีความจำ การทอยแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน แม้จะออก 1 ติดกัน 5 ครั้ง การทอยครั้งถัดไปก็ยังมีโอกาสออก 1 เท่ากับเลขอื่นทุกตัวพอดี